9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, BC = 25, cosA = 12/13. Найдите AC.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Известно:

• \( BC = 25 \) (противолежащий катет к углу A)
• \( \cos A = \frac{12}{13} \)

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

В нашем случае прилежащий катет к углу A — это AC, а гипотенуза — AB.

\( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13} \)

Отсюда \( AB = \frac{13}{12} AC \).

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

Подставим известные значения:

\( AC^2 + 25^2 = \left(\frac{13}{12} AC\right)^2 \)

\( AC^2 + 625 = \frac{169}{144} AC^2 \)

Перенесём члены с \( AC^2 \) в одну сторону:

\( 625 = \frac{169}{144} AC^2 - AC^2 \)

\( 625 = AC^2 \left(\frac{169}{144} - 1\right) \)

\( 625 = AC^2 \left(\frac{169 - 144}{144}\right) \)

\( 625 = AC^2 \left(\frac{25}{144}\right) \)

Выразим \( AC^2 \):

\( AC^2 = 625 \cdot \frac{144}{25} \)

\( AC^2 = 25 \cdot 144 \)

\( AC = \sqrt{25 \cdot 144} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{144} = 5 \cdot 12 = 60 \)

Ответ: 60