3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью, модуль которой v₀ = 18 м/с. На какой высоте кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии?

Решение:

По закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела (сумма кинетической и потенциальной энергии) остается постоянной, если отсутствуют силы трения.

Полная энергия: \( E = E_k + E_p \)

Начальная энергия (у поверхности Земли, \( h = 0 \)):

\[ E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2} m v_0^2 + mg(0) = \frac{1}{2} m v_0^2 \]

В момент, когда кинетическая энергия равна потенциальной (\( E_k = E_p \)), мы имеем:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

\[ E_p = mgh \]

Условие \( E_k = E_p \) означает:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = mgh \]

Так как \( E_k = E_p \), то полная энергия в этот момент равна \( E = E_k + E_p = 2E_p = 2mgh \) или \( E = E_k + E_p = 2E_k = 2 \cdot \frac{1}{2} m v^2 = mv^2 \).

Приравниваем начальную полную энергию к полной энергии в интересующий момент:

\[ \frac{1}{2} m v_0^2 = 2mgh \]

Сокращаем \( m \) и выражаем \( h \):

\[ h = \frac{v_0^2}{4g} \]

Подставляем значения:

\[ h = \frac{(18 \ \text{м/с})^2}{4 \cdot 9,8 \ \text{м/с}^2} = \frac{324 \ \text{м}^2/\text{с}^2}{39,2 \ \text{м/с}^2} \approx 8,26 \ \text{м} \]

Используя \( g = 10 \ \text{м/с}^2 \) для упрощения:

\[ h = \frac{(18 \ \text{м/с})^2}{4 \cdot 10 \ \text{м/с}^2} = \frac{324}{40} = 8,1 \ \text{м} \]

Ответ: 8,1 м (при g = 10 м/с²).