5. Небольшое тело массой m = 0,50 кг висит на невесомой нерастяжимой нити, касаясь бруска массой М = 1,5 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью μ = 0,15. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью (см. рис.), и отпустили. Чему равна длина нити, если в результате абсолютно упругого удара брусок сместился на расстояние s = 50 см?

Решение:

Задача состоит из нескольких частей: 1) движение тела массой \( m \) после отпускания; 2) абсолютно упругий удар; 3) движение бруска массой \( M \) под действием силы трения.

Часть 1: Движение тела массой \( m \)

Тело массой \( m \) движется под действием силы тяжести и силы натяжения нити. При отпускании тело падает, и его потенциальная энергия переходит в кинетическую. При достижении нижней точки (где нить вертикальна), вся начальная потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию.

Начальная высота \( h \) тела, когда нить образует угол \( \alpha = 60° \) с вертикалью, равна:

\[ h = l - l \, \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha)) \]

Где \( l \) — длина нити.

Начальная потенциальная энергия:

\[ E_{p0} = mgh = mgl(1 - \cos(\alpha)) \]

В нижней точке (когда тело готово столкнуться с бруском) вся энергия перейдет в кинетическую:

\[ E_{k} = \frac{1}{2} m v^2 \]

По закону сохранения энергии:

\[ E_{p0} = E_k \]

\[ mgl(1 - \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} m v^2 \]

Отсюда находим скорость \( v \) тела непосредственно перед ударом:

\[ v^2 = 2gl(1 - \cos(\alpha)) \]

\[ v = \sqrt{2gl(1 - \cos(\alpha))} \]

Часть 2: Абсолютно упругий удар

При абсолютно упругом ударе сохраняется как импульс системы, так и кинетическая энергия. Поскольку тело массой \( m \) ударяется о покоящийся брусок массой \( M \), и удар считать одномерным (тело \( m \) движется горизонтально в момент удара, так как нить вертикальна), то после удара тела обменяются скоростями.

Скорость тела \( m \) после удара \( v'_m = 0 \) (оно остановится, вся энергия перейдет к бруску).

Скорость бруска \( M \) после удара \( v'_M = v \).

Часть 3: Движение бруска массой \( M \)

Брусок массой \( M \) начинает двигаться со скоростью \( v'_M = v \) и останавливается под действием силы трения. Расстояние, на которое сместится брусок, равно \( s = 50 \ \text{см} = 0,5 \ \text{м} \).

Сила трения скольжения:

\[ F_{тр} = \mu N \]

На горизонтальной поверхности \( N = Mg \), где \( g \) — ускорение свободного падения. Примем \( g = 9,8 \ \text{м/с}^2 \).

\[ F_{тр} = \mu Mg \]

Работа силы трения равна изменению кинетической энергии бруска (из \( E_k \) до 0).

\[ A_{тр} = -F_{тр} \, s = \Delta E_k \]

\[ -(\mu Mg) \, s = 0 - \frac{1}{2} M (v'_M)^2 \]

\[ \mu Mgs = \frac{1}{2} M v^2 \]

Сокращаем \( M \) и выражаем \( v^2 \):

\[ v^2 = 2 \mu gs \]

Объединяем части

Теперь мы можем приравнять выражения для \( v^2 \) из Части 1 и Части 3:

\[ 2gl(1 - \cos(\alpha)) = 2 \mu gs \]

Сокращаем 2:

\[ gl(1 - \cos(\alpha)) = \mu gs \]

Выражаем \( l \) (длину нити):

\[ l = \frac{\mu gs}{g(1 - \cos(\alpha))} = \frac{\mu s}{1 - \cos(\alpha)} \]

Подставляем значения:

\( \mu = 0,15 \)

\( s = 0,5 \ \text{м} \)

\( \alpha = 60° \implies \cos(60°) = 0,5 \)

\[ l = \frac{0,15 \cdot 0,5 \ \text{м}}{1 - 0,5} = \frac{0,075}{0,5} = 0,15 \ \text{м} \]

Ответ: 0,15 м.