4. Тело массой m = 300 г падает вертикально вниз с высоты h = 2,5 м на наклонную плоскость, составляющую угол α = 45° с горизонтом, и упруго отражается. Найти модуль изменения импульса тела при столкновении.

Решение:

При упругом столкновении с наклонной плоскостью вектор скорости тела меняет направление, но модуль скорости остается прежним. Импульс - это векторная величина \( \vec{p} = m \vec{v} \). Изменение импульса \( \Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 \).

Так как столкновение упругое, модуль скорости до удара \( |\vec{v}_1| \) равен модулю скорости после удара \( |\vec{v}_2| \).

Тело падает вертикально вниз, значит, \( \vec{v}_1 \) направлен вертикально вниз. После упругого отражения от наклонной плоскости, вектор скорости \( \vec{v}_2 \) будет направлен под тем же углом к нормали к плоскости, но в противоположную сторону. Угол падения равен углу отражения.

Сначала найдем скорость тела непосредственно перед столкновением, используя закон сохранения энергии (или формулы кинематики при равноускоренном движении под действием силы тяжести):

\[ v_1 = \sqrt{2gh} \]

\( m = 300 \ \text{г} = 0,3 \ \text{кг} \)

\[ v_1 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \ \text{м/с}^2 \cdot 2,5 \ \text{м}} = \sqrt{49 \ \text{м}^2/\text{с}^2} = 7 \ \text{м/с} \]

После упругого столкновения, модуль скорости \( v_2 = v_1 = 7 \ \text{м/с} \).

Теперь найдем изменение импульса. Пусть ось Y направлена вертикально вверх, а ось X — горизонтально. Наклонная плоскость составляет угол \( \alpha = 45° \) с горизонтом. Нормаль к плоскости составляет угол \( 90° - \alpha = 45° \) с вертикалью.

Вектор скорости до удара \( \vec{v}_1 \) направлен вертикально вниз. Его проекции:

\[ v_{1x} = 0 \]

\[ v_{1y} = -7 \ \text{м/с} \]

Вектор скорости после удара \( \vec{v}_2 \) будет иметь такую же скорость \( 7 \ \text{м/с} \), но направлен будет вверх и в сторону, перпендикулярно к вектору \( \vec{v}_1 \) относительно нормали к плоскости.

Проекция скорости \( \vec{v}_2 \) на нормаль к плоскости (которая направлена под углом \( 45° \) к вертикали) будет равна \( -7 \ \text{м/с} \) (до удара) и \( +7 \ \text{м/с} \) (после удара).

Найдем проекции \( \vec{v}_2 \) на оси X и Y.

Скорость \( \vec{v}_2 \) направлена под углом \( 45° \) к вертикали. Если \( \alpha = 45° \) — угол наклона плоскости, то угол между \( \vec{v}_2 \) и вертикалью будет \( 90° - 45° = 45° \).

Проекции \( \vec{v}_2 \):

\[ v_{2y} = -v_2 \, \cos(45°) = -7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ \text{м/с} \approx -4,95 \ \text{м/с} \]

\[ v_{2x} = v_2 \, \sin(45°) = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ \text{м/с} \approx 4,95 \ \text{м/с} \]

Изменение импульса в векторной форме:

\[ \Delta \vec{p} = m \vec{v}_2 - m \vec{v}_1 \]

Изменение импульса по оси Y:

\[ \Delta p_y = m (v_{2y} - v_{1y}) = 0,3 \ \text{кг} \cdot (-4,95 \ \text{м/с} - (-7 \ \text{м/с})) = 0,3 \ \text{кг} \cdot (7 - 4,95) \ \text{м/с} = 0,3 \ \text{кг} \cdot 2,05 \ \text{м/с} = 0,615 \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Изменение импульса по оси X:

\[ \Delta p_x = m (v_{2x} - v_{1x}) = 0,3 \ \text{кг} \cdot (4,95 \ \text{м/с} - 0) = 0,3 \ \text{кг} \cdot 4,95 \ \text{м/с} = 1,485 \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Модуль изменения импульса:

\[ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{(1,485)^2 + (0,615)^2} \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

\[ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{2,205 + 0,378} = \sqrt{2,583} \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \approx 1,61 \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Примечание: В случае упругого удара о наклонную плоскость, если угол наклона \( \alpha \), то изменение импульса можно найти проще. Изменение импульса по направлению нормали к плоскости равно \( 2 m v_{\perp} \), где \( v_{\perp} \) — проекция скорости на нормаль. Скорость, перпендикулярная плоскости, до удара \( v_{\perp} = v_1 \, \sin(\alpha) = 7 \, \sin(45°) \). После удара она равна \( -v_1 \, \sin(\alpha) \). Скорость вдоль плоскости остается неизменной.

Найдем изменение импульса в направлении, перпендикулярном плоскости. Этот вектор составляет угол \( 90° - \alpha \) с вертикалью. Его модуль будет \( 2 m v_1 \, \sin(\alpha) \).

\[ \Delta p_{\perp} = 2 \cdot 0,3 \ \text{кг} \cdot 7 \ \text{м/с} \cdot \sin(45°) = 0,6 \ \text{кг} \cdot 7 \ \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ \text{кг} \cdot \text{м/с} = 2,1 \sqrt{2} \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \approx 2,97 \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Это изменение импульса направлено по нормали к плоскости.

Принимая \( g = 10 \ \text{м/с}^2 \):

\[ v_1 = \sqrt{2 \cdot 10 \ \text{м/с}^2 \cdot 2,5 \ \text{м}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \ \text{м/с} \approx 7,07 \ \text{м/с} \]

\[ \Delta p_{\perp} = 2 \cdot 0,3 \ \text{кг} \cdot 5\sqrt{2} \ \text{м/с} \cdot \sin(45°) = 0,6 \ \text{кг} \cdot 5\sqrt{2} \ \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,6 \ \text{кг} \cdot 5 \ \text{м/с} = 3 \ \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Ответ: 3,0 кг·м/с (при g=10 м/с²).