3. Тип 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 41, tg A = 1/9. Найдите AH.

Поскольку \(\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{9}\), положим \(BC=x\), \(AC=9x\). Тогда по теореме Пифагора \(AB^2=x^2+(9x)^2=82x^2\).

Для высоты к гипотенузе верно соотношение \(AC^2=AB\cdot AH\). Поэтому \(AH=\frac{AC^2}{AB}\). Из \(AB^2=82x^2\) и \(AB=41\) получаем \(AC^2=81x^2=\frac{81\cdot41^2}{82}\), следовательно, \(AH=\frac{81\cdot41}{82}=\frac{81}{2}\).

Ответ: \(\frac{81}{2}\).