3. Тип 7 № 8010 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечено девять точек. Проведите биссектрису угла AFB. Сколь- • отмеченных точек, отличных от точек А, Е и В, лежит на биссектрисе угла AFB?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно:

1. Определить координаты точек A, F и B.
2. Провести биссектрису угла AFB.
3. Подсчитать, сколько других отмеченных точек лежит на этой биссектрисе.

1. Определение координат точек:

Рассмотрим клетчатую бумагу как систему координат. Предположим, что точка B находится в начале координат (0,0). Тогда, исходя из расположения точек:

• B: (0, 0)
• I: (0, 1)
• D: (0, 2)
• G: (1, 0)
• E: (1, 1)
• C: (1, 2)
• F: (2, 0)
• H: (2, 1)
• A: (2, 2)

Угол, который нас интересует, это угол AFB. Его вершина находится в точке F (2, 0).

2. Проведение биссектрисы угла AFB:

Для того чтобы провести биссектрису, нам нужно знать векторы FA и FB.

• Вектор FA: A - F = (2, 2) - (2, 0) = (0, 2)
• Вектор FB: B - F = (0, 0) - (2, 0) = (-2, 0)

Угол между вектором (0, 2) (который направлен вертикально вверх) и вектором (-2, 0) (который направлен горизонтально влево) равен 90 градусам. Это прямой угол.

Биссектриса прямого угла делит его пополам, то есть под углом 45 градусов к каждой из сторон. Поскольку точка F находится в (2,0), ось x является одной из сторон угла (направлена влево от F). Ось y, смещенная к F, проходит через A.

Биссектриса прямого угла, образованного положительной (или отрицательной) частью оси X и положительной (или отрицательной) частью оси Y, будет проходить под углом 45 градусов к этим осям. В нашем случае, вектор FB лежит на отрицательной оси X, а вектор FA — на положительной оси Y.

Таким образом, биссектриса будет проходить через точку F (2,0) и образовывать угол 45 градусов с отрицательной частью оси X (или с положительной частью оси Y). Уравнение такой прямой будет иметь вид y = -(x - 2), или y = -x + 2, если мы считаем угол от оси X в направлении против часовой стрелки, или y = x - 2, если мы считаем угол от оси X в направлении по часовой стрелке. Давайте проверим, какой угол образуют векторы.

Угол между FB (направлен влево по оси X) и FA (направлен вверх по оси Y) действительно равен 90 градусам.

Биссектриса будет проходить через точку F (2, 0). Угол между FB (вектор (-2, 0)) и биссектрисой должен быть равен углу между FA (вектор (0, 2)) и биссектрисой. Эти углы должны быть по 45 градусов.

Уравнение биссектрисы, проходящей через F(2,0) и имеющей наклон -1 (угол 135 градусов с положительным направлением оси X, что соответствует 45 градусам с отрицательным направлением оси X), будет: y - 0 = -1 * (x - 2), то есть y = -x + 2.

3. Подсчет точек на биссектрисе:

Теперь проверим, какие из отмеченных точек (кроме A, F, B) лежат на прямой y = -x + 2:

• B (0, 0): 0 = -0 + 2 => 0 = 2 (Не лежит)
• I (0, 1): 1 = -0 + 2 => 1 = 2 (Не лежит)
• D (0, 2): 2 = -0 + 2 => 2 = 2 (Лежит!)
• G (1, 0): 0 = -1 + 2 => 0 = 1 (Не лежит)
• E (1, 1): 1 = -1 + 2 => 1 = 1 (Лежит!)
• C (1, 2): 2 = -1 + 2 => 2 = 1 (Не лежит)
• F (2, 0): 0 = -2 + 2 => 0 = 0 (Лежит, но это вершина угла)
• H (2, 1): 1 = -2 + 2 => 1 = 0 (Не лежит)
• A (2, 2): 2 = -2 + 2 => 2 = 0 (Не лежит)

Мы ищем точки, отличные от A, E, B. Однако, по моему определению координат, A=(2,2) и E=(1,1) и B=(0,0). Угол AFB. Нам нужно найти точки, отличные от A, F, B.

Переопределим координаты, исходя из изображения. Скорее всего, точки A, F, B расположены так, что образуют угол, и биссектриса проходит через другие точки.

Посмотрим на рисунок еще раз. Точки A, E, B, C, D, G, H, I, F. Похоже, что A=(2,2), F=(2,0), B=(0,0) — это вершины угла. Но на рисунке точка B находится ниже, а F выше. Давайте попробуем другой вариант координат:

Предположим, что ось X проходит через точки B, G, F. А ось Y проходит через точки B, I, D.

Новый вариант координат (более вероятный исходя из рисунка):

• B: (0, 0)
• G: (1, 0)
• F: (2, 0)
• I: (0, 1)
• E: (1, 1)
• H: (2, 1)
• D: (0, 2)
• C: (1, 2)
• A: (2, 2)

Угол AFB. Вершина в точке F(2,0). Стороны угла:

• Вектор FB: B - F = (0, 0) - (2, 0) = (-2, 0)
• Вектор FA: A - F = (2, 2) - (2, 0) = (0, 2)

Этот же угол. И биссектриса y = -x + 2.

Точки, отличные от A, E, B:

• D (0, 2): 2 = -0 + 2 => 2 = 2 (Лежит)
• C (1, 2): 2 = -1 + 2 => 2 = 1 (Не лежит)
• G (1, 0): 0 = -1 + 2 => 0 = 1 (Не лежит)
• H (2, 1): 1 = -2 + 2 => 1 = 0 (Не лежит)
• I (0, 1): 1 = -0 + 2 => 1 = 2 (Не лежит)

Получается, что точка D лежит на биссектрисе. Точка E тоже лежит на биссектрисе.

Однако, есть одна проблема: Условие задачи говорит «Проведите биссектрису угла AFB. Сколь- • отмеченных точек, отличных от точек А, Е и В, лежит на биссектрисе угла AFB?»

Это означает, что А, Е, В — это какие-то три точки из сетки. Но биссектриса угла AFB должна проходить через F.

Давайте посмотрим на изображение внимательнее. На рисунке видно, что точки A, E, B расположены так, что они образуют угол, но не обязательно угол AFB. Возможно, A, F, B — это точки, которые определяют угол, и нам нужно найти другие точки на биссектрисе этого угла. Скорее всего, A, F, B — это вершины, образующие угол.

Рассмотрим точки, которые могут быть A, F, B:

Если F — вершина угла, то F может быть любой из точек, кроме крайних. Например, F может быть E, H, G, I, C.

Случай 1: F — вершина (2,0). Угол AFB. A=(2,2), B=(0,0).

Вектор FB = (0-2, 0-0) = (-2, 0)

Вектор FA = (2-2, 2-0) = (0, 2)

Угол между ними 90 градусов. Биссектриса проходит через F(2,0) с наклоном -1. Уравнение: y - 0 = -1(x - 2) => y = -x + 2.

Точки, отличные от A, E, B, которые лежат на этой прямой:

• D (0, 2): 2 = -0 + 2 => 2 = 2. (Лежит)
• C (1, 2): 2 = -1 + 2 => 2 = 1. (Не лежит)
• G (1, 0): 0 = -1 + 2 => 0 = 1. (Не лежит)
• H (2, 1): 1 = -2 + 2 => 1 = 0. (Не лежит)
• I (0, 1): 1 = -0 + 2 => 1 = 2. (Не лежит)

Итак, точка D лежит на биссектрисе.

Случай 2: F — вершина E(1,1). Угол AEB. A=(2,2), B=(0,0).

Вектор EA = (2-1, 2-1) = (1, 1)

Вектор EB = (0-1, 0-1) = (-1, -1)

Эти векторы противоположны. Угол между ними 180 градусов. Биссектриса — это прямая, проходящая через E(1,1) и имеющая наклон 0 (т.е. горизонтальная прямая) или неопределенный наклон (вертикальная прямая). В данном случае, векторы лежат на одной прямой, поэтому биссектриса — это сама прямая, проходящая через A, E, B. Уравнение прямой AB: y=x. Проверим точки:

• F(2,0): 0 = 2 (Не лежит)
• H(2,1): 1 = 2 (Не лежит)
• I(0,1): 1 = 0 (Не лежит)
• C(1,2): 2 = 1 (Не лежит)
• D(0,2): 2 = 0 (Не лежит)

В этом случае, ни одна другая точка не лежит на биссектрисе.

Случай 3: F — вершина H(2,1). Угол AHB. A=(2,2), B=(0,0).

Вектор HA = (2-2, 2-1) = (0, 1)

Вектор HB = (0-2, 0-1) = (-2, -1)

Найдем угол между ними:

cos(θ) = (HA · HB) / (|HA| * |HB|) = (0*(-2) + 1*(-1)) / (sqrt(0^2+1^2) * sqrt((-2)^2+(-1)^2)) = -1 / (1 * sqrt(5)) = -1/sqrt(5)

Это не прямой угол. Биссектриса не пройдет через целые точки.

Наиболее вероятный сценарий: Угол AFB, где F=(2,0), A=(2,2), B=(0,0). Угол прямой. Биссектриса y = -x + 2.

Точки, отличные от A, E, B:

• F(2,0) — вершина угла, ее не считаем.
• D(0,2) — лежит на биссектрисе.
• C(1,2) — не лежит.
• G(1,0) — не лежит.
• H(2,1) — не лежит.
• I(0,1) — не лежит.

Итак, точка D лежит на биссектрисе. Нужно проверить, не является ли E одной из точек, которые мы должны исключить. Условие: «отличных от точек А, Е и В».

В первом случае A=(2,2), E=(1,1), B=(0,0). Если F=(2,0), то биссектриса y = -x + 2. Точки на ней: D(0,2) и E(1,1).

Точки, отличные от A, E, B:

Если A=(2,2), E=(1,1), B=(0,0) — это те точки, которые мы исключаем. Точка D=(0,2) находится на биссектрисе. Точка E=(1,1) тоже находится на биссектрисе, но ее нужно исключить. Точка F — это вершина угла, ее тоже не считаем.

Значит, остается только одна точка — D.

Проверим еще раз, если F — вершина, то это одна из 9 точек.

Пусть F = H = (2,1). Угол AHB. A=(2,2), B=(0,0).

Вектор HA = (0,1)

Вектор HB = (-2, -1)

cos(θ) = -1/sqrt(5). Угол не прямой.

Возможно, точки A, E, B — это не те точки, что образуют угол!

Давайте сосредоточимся на вершине F.

Самый вероятный сценарий:

F = (2,0)

A = (2,2)

B = (0,0)

Угол AFB — прямой (90 градусов).

Биссектриса проходит через F(2,0) под углом 45 градусов к векторам FA и FB. Уравнение биссектрисы: y = -x + 2.

Точки, которые нам нужно проверить, это точки сетки, отличные от A, E, B.

Предположим, что A, E, B — это точки (2,2), (1,1), (0,0) соответственно.

Точки сетки:

• (0,0) - B
• (1,0) - G
• (2,0) - F
• (0,1) - I
• (1,1) - E
• (2,1) - H
• (0,2) - D
• (1,2) - C
• (2,2) - A

Биссектриса: y = -x + 2.

Проверяем точки, отличные от A(2,2), E(1,1), B(0,0):

• G(1,0): 0 = -1 + 2 => 0 = 1 (не лежит)
• F(2,0): 0 = -2 + 2 => 0 = 0 (лежит, но это вершина, ее не считаем)
• I(0,1): 1 = -0 + 2 => 1 = 2 (не лежит)
• H(2,1): 1 = -2 + 2 => 1 = 0 (не лежит)
• D(0,2): 2 = -0 + 2 => 2 = 2 (лежит)
• C(1,2): 2 = -1 + 2 => 2 = 1 (не лежит)

Таким образом, точка D лежит на биссектрисе. Точка F — это вершина, ее не считаем.

В условии сказано «отличных от точек А, Е и В».

Если A=(2,2), E=(1,1), B=(0,0) — это те точки, которые мы исключаем из подсчета, то мы нашли точку D.

Проверим, не являются ли A, E, B другими точками.

Возможно, A, F, B — это не те точки, которые определены на сетке? Но они отмечены.

Предположение: A, F, B — это точки, образующие угол. То есть F — вершина. A и B — точки на сторонах.

Рассмотрим еще раз картинку. На картинке есть точки A, F, B, которые, кажется, образуют угол. И есть сетка. И есть биссектриса, которая проведена.

На рисунке видно, что биссектриса угла AFB проходит через точку D.

Точка F находится на одной горизонтали с G и F. Точка A находится на одной вертикали с C и D. Точка B находится на одной вертикали с I и D.

Давайте будем опираться на визуальное представление биссектрисы.

Биссектриса проходит через F. Биссектриса проходит под углом 45 градусов. Видно, что она проходит через D. И через E. Если F = (2,0), A = (2,2), B = (0,0), то биссектриса y = -x + 2.

Точки на биссектрисе:

• D (0,2) - лежит
• E (1,1) - лежит
• F (2,0) - лежит (вершина)

Условие: «отличных от точек А, Е и В».

Если A=(2,2), E=(1,1), B=(0,0), то точки на биссектрисе, отличные от A, E, B — это точка D.

Итого:

1. Определяем координаты точек, исходя из сетки. Предположим, что F=(2,0) (точка на правой стороне), A=(2,2) (верхний правый угол), B=(0,0) (нижний левый угол). Тогда угол AFB — прямой. Биссектриса y = -x + 2.

2. Точки сетки:

• (0,0) B
• (1,0) G
• (2,0) F
• (0,1) I
• (1,1) E
• (2,1) H
• (0,2) D
• (1,2) C
• (2,2) A

3. Проверяем, какие точки лежат на y = -x + 2:

• D(0,2): 2 = -0 + 2 (лежит)
• E(1,1): 1 = -1 + 2 (лежит)
• F(2,0): 0 = -2 + 2 (лежит)

4. Условие: «отличных от точек А, Е и В».

Точки, которые лежат на биссектрисе: D, E, F.

Мы исключаем A, E, B.

Из точек {D, E, F}, исключаем E. Остаются {D, F}.

Важно: точка F — вершина угла, ее не считаем. Поэтому мы должны исключить F тоже.

Тогда остается только одна точка - D.

Проверим еще раз:

Биссектриса угла AFB. A, F, B — точки из сетки.

Визуально, биссектриса проходит через F, E, D.

Если биссектриса проходит через E(1,1), F(2,0), D(0,2):

Проверим, лежит ли E на прямой FD.

Прямая FD: Проходит через F(2,0) и D(0,2).

Уравнение прямой: (y - 0) / (2 - 0) = (x - 2) / (0 - 2)

y / 2 = (x - 2) / (-2)

y = -(x - 2)

y = -x + 2.

Проверим точку E(1,1): 1 = -1 + 2 => 1 = 1. Да, E лежит на прямой FD.

Итак, биссектриса угла AFB проходит через F, E, D.

Теперь условие: «Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, Е и В, лежит на биссектрисе угла AFB?»

На биссектрисе лежат точки F, E, D.

Мы должны исключить A, E, B.

Из {F, E, D} убираем E. Остаются {F, D}.

F — вершина угла, поэтому ее не считаем.

Остается только D.

Количество точек: 1.

Ответ: 1