3. Точка K лежит на стороне AB, точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB и CM:MD = 2:5. Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через \(\overrightarrow{AB}=\vec p\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec q\).

Выберем A за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec p\), \(\overrightarrow{AD}=\vec q\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec p+\vec q\).

1. K — середина AB, следовательно, \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).
2. Точка M делит CD в отношении \(CM:MD=2:5\), поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac27\overrightarrow{CD}=-\frac27\vec p\).
3. Отсюда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\vec p+\vec q-\frac27\vec p=\frac57\vec p+\vec q\).
4. \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AK}\), поэтому \(\overrightarrow{MK}=-\frac57\vec p-\vec q+\frac12\vec p=-\frac3{14}\vec p-\vec q\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=-\frac3{14}\vec p-\vec q\).