3. Точка S не лежит в плоскости прямоугольника ABCD и равноудалена от всех его вершин. Найдите расстояние от точки S до вершин прямоугольника, если расстояние от точки S до плоскости ABC равно 24 см, AB = 12 см, BC = 16 см.

Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Поскольку S равноудалена от вершин прямоугольника, её проекция на плоскость прямоугольника — центр O. Значит, расстояние от S до плоскости равно SO = 24 см.

Диагональ прямоугольника: \(AC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20\) см. Диагонали прямоугольника делятся пополам, поэтому \(OA = 10\) см.

Треугольник SOA прямоугольный, так как SO перпендикулярна плоскости ABC. По теореме Пифагора: \(SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26\) см.

По условию S равноудалена от всех вершин, поэтому расстояния до A, B, C и D одинаковы.

Ответ: 26 см.