4. Вершина A треугольника ABC является основанием перпендикуляра AD к плоскости треугольника. Докажите, что если ∠DBA = ∠DCA, то ∠DBC = ∠DCB.

Так как AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то AD ⟂ AB и AD ⟂ AC. Следовательно, треугольники DAB и DAC прямоугольные с общей стороной AD.

Из равенства ∠DBA = ∠DCA следует равенство их тангенсов. В этих прямоугольных треугольниках \(\tan \angle DBA = \frac{AD}{AB}\), а \(\tan \angle DCA = \frac{AD}{AC}\). Поэтому \(\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AC}\), откуда AB = AC.

По теореме Пифагора \(DB^2 = AD^2 + AB^2\) и \(DC^2 = AD^2 + AC^2\). Так как AB = AC, получаем DB = DC.

Значит, треугольник DBC равнобедренный с основанием BC, поэтому его углы при основании равны: \(\angle DBC = \angle DCB\).

Что и требовалось доказать.