3. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, точки K, M, P — середины отрезков AB, BC и CD. Докажите, что плоскость KMP параллельна прямым AC и BD.

В треугольнике ABC точки K и M — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника \(KM \parallel AC\).

В треугольнике BCD точки M и P — середины сторон BC и CD. По той же теореме \(MP \parallel BD\).

Прямые KM и MP пересекаются в точке M и лежат в плоскости KMP. Прямая AC параллельна прямой KM, лежащей в этой плоскости, и не принадлежит плоскости KMP: иначе AC и KM совпали бы, что привело бы к принадлежности A, B, C, D одной плоскости. Следовательно, \(AC \parallel (KMP)\). Аналогично, \(BD \parallel (KMP)\).

Доказано: плоскость KMP параллельна прямым AC и BD.