4. Из точки A к плоскости α проведены два отрезка AC и AB, равные 9 см. Точка D принадлежит AB, точка E принадлежит AC, DE параллельна α и \(\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}\). Найти длину отрезков AD и DB.

Так как отрезки AC и AB проведены из точки A к плоскости α, их концы B и C лежат в α. Поэтому BC лежит в α, а из DE ∥ α следует DE ∥ BC.

Из отношения \(\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}\) следует, что AC состоит из трёх равных частей: \(AE=\frac{1}{3}AC=3\) см.

Треугольники ADE и ABC подобны, поскольку DE ∥ BC. Тогда \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}\), откуда \(AD=\frac{1}{3}\cdot 9=3\) см.

Оставшаяся часть отрезка AB: \(DB=AB-AD=9-3=6\) см.

Ответ: AD = 3 см, DB = 6 см.