3. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 400 меньше дуги АМВ. АМ – диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

Дано:

• Окружность с центром О
• АВ делит окружность на дуги АМВ и АСВ
• ∠ АМВ = ∠ АСВ + 40°
• АМ – диаметр

Найти:

• ∠ АМВ
• ∠ АВМ
• ∠ АСВ

Решение:

1. Полная окружность составляет 360°.
2. \[ \text{Дуга АМВ} + \text{Дуга АСВ} = 360° \]
3. \[ (\text{Дуга АСВ} + 40°) + \text{Дуга АСВ} = 360° \]
4. \[ 2 \times \text{Дуга АСВ} = 360° - 40° = 320° \]
5. \[ \text{Дуга АСВ} = \frac{320°}{2} = 160° \]
6. \[ \text{Дуга АМВ} = 160° + 40° = 200° \]
7. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
8. ∠ АСВ опирается на дугу АМВ.
9. \[ \text{Угол АСВ} = \frac{\text{Дуга АМВ}}{2} = \frac{200°}{2} = 100° \]
10. ∠ АМВ опирается на дугу АСВ.
11. \[ \text{Угол АМВ} = \frac{\text{Дуга АСВ}}{2} = \frac{160°}{2} = 80° \]
12. Так как АМ – диаметр, то угол АВМ является вписанным углом, опирающимся на диаметр.
13. \[ \text{Угол АВМ} = 90° \]

Ответ: ∠ АМВ = 80°, ∠ АВМ = 90°, ∠ АСВ = 100°.