3. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) Так как EF — средняя линия трапеции, она параллельна её основаниям: EF ∥ KP. По условию EF ∥ AC. Следовательно, прямые AC и KP, параллельные одной прямой, параллельны между собой: AC ∥ KP.

б) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому EF = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит (KP + MN) / 2 = 8, откуда KP + MN = 16 см.

По отношению KP : MN = 3 : 5 всего приходится 3 + 5 = 8 равных частей. Одна часть равна 16 / 8 = 2 см. Тогда KP = 3 · 2 = 6 см, MN = 5 · 2 = 10 см.

Ответ: а) AC ∥ KP; б) KP = 6 см, MN = 10 см.