4. Точка M не лежит в плоскости ромба ABCD. а) Докажите, что MC и AD — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми MC и AD, если ∠MBC = 70°, ∠BMC = 65°.

а) Прямая MC пересекает плоскость ромба только в точке C: точка C лежит в этой плоскости, а M — нет. При этом C не лежит на AD, поэтому прямые MC и AD не пересекаются. Они также не параллельны: иначе MC была бы параллельна плоскости ромба и не пересекала бы её в точке C. Значит, прямые скрещиваются.

б) В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому AD ∥ BC. Угол между скрещивающимися прямыми MC и AD равен углу между MC и параллельной ей по замене прямой BC, то есть меньшему углу между прямыми MC и BC.

В треугольнике MBC сумма углов равна 180°:

∠MCB = 180° − ∠MBC − ∠BMC = 180° − 70° − 65° = 45°.

Ответ: а) MC и AD — скрещивающиеся; б) угол между ними равен 45°.