3) \( \triangle ABC \)—прямоугольный (\( \angle C=90^\text{°} \)). Угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57°. Найти острые углы \( \triangle ABC \).

Решение:

Пусть \( \angle BAC = \alpha \), а \( \angle ABC = \beta \). Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^\text{°} \).

Биссектриса BK делит угол \( \angle ABC \) на два равных угла: \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{\beta}{2} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle BKC \). Угол \( \angle BKC \) является внешним углом для \( \triangle ABK \).

Угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57°. Этот угол может быть \( \angle BKC \) или \( \angle BKA \). По рисунку, угол между биссектрисой BK и катетом AC — это \( \angle BKC \), если точка K лежит на AC, или \( \angle AKB \) если K - на AC. Угол \( \angle BKC = 57^\text{°} \) или \( \angle AKB = 57^\text{°} \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \). Угол \( \angle AKB = 180^\text{°} - \alpha - \frac{\beta}{2} \).

Рассмотрим \( \triangle BKC \). Угол \( \angle BKC = 180^\text{°} - 90^\text{°} - \frac{\beta}{2} = 90^\text{°} - \frac{\beta}{2} \).

Из условия, угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57°. Подразумевается угол \( \angle BKC = 57^\text{°} \).

\[ 90^\text{°} - \frac{\beta}{2} = 57^\text{°} \]\[ \frac{\beta}{2} = 90^\text{°} - 57^\text{°} = 33^\text{°} \]\[ \beta = 2 \cdot 33^\text{°} = 66^\text{°} \]

Теперь найдём \( \alpha \):

\[ \alpha = 90^\text{°} - \beta = 90^\text{°} - 66^\text{°} = 24^\text{°} \]

Проверка: если \( \angle BKC = 57^\text{°} \), то \( \angle ABK = 33^\text{°} \), \( \angle ABC = 66^\text{°} \). Угол \( \angle BAC = 24^\text{°} \).

Если угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57°, то это \( \angle BKC \) или \( \angle AKB \). Предположим, что \( \angle BKC = 57^\text{°} \).

Тогда в \( \triangle BKC \): \( \angle KBC = 90^\text{°} - 57^\text{°} = 33^\text{°} \).

Так как BK — биссектриса, \( \angle ABC = 2 \cdot \angle KBC = 2 \cdot 33^\text{°} = 66^\text{°} \).

Тогда \( \angle BAC = 90^\text{°} - 66^\text{°} = 24^\text{°} \).

Проверим условие: \( \angle AKB = 180^\text{°} - 57^\text{°} = 123^\text{°} \). Угол \( \angle AKB \) во внешнем треугольнике \( \triangle ABK \) равен \( \angle BAC + \angle ABK = 24^\text{°} + 33^\text{°} = 57^\text{°} \). Это не совпадает.

Рассмотрим случай, когда угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57° — это \( \angle AKB = 57^\text{°} \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle ABK = 180^\text{°} - 90^\text{°} - \alpha - \angle BKC = 90 - \alpha - \frac{\beta}{2} \).

Угол \( \angle AKB = 57^\text{°} \). В \( \triangle ABK \): \( \angle ABK = 180^\text{°} - \alpha - 57^\text{°} \).

\( \frac{\beta}{2} = 180^\text{°} - \alpha - 57^\text{°} \)

\( \frac{\beta}{2} = 180^\text{°} - (90^\text{°} - \beta) - 57^\text{°} \)

\( \frac{\beta}{2} = 180^\text{°} - 90^\text{°} + \beta - 57^\text{°} \)

\( \frac{\beta}{2} = 33^\text{°} + \beta \)

\( \frac{\beta}{2} - \beta = 33^\text{°} \)

\( -\frac{\beta}{2} = 33^\text{°} \)

\( \beta = -66^\text{°} \) — не подходит.

Давайте вернемся к первому случаю. Если \( \angle BKC = 57^\text{°} \), то \( \angle KBC = 33^\text{°} \) и \( \beta = 66^\text{°} \), \( \alpha = 24^\text{°} \).

Угол \( \angle AKB \) смежный с \( \angle BKC \), поэтому \( \angle AKB = 180^\text{°} - 57^\text{°} = 123^\text{°} \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle BAC + \angle ABK + \angle AKB = 180^\text{°} \)

\( \alpha + \frac{\beta}{2} + 123^\text{°} = 180^\text{°} \)

\( \alpha + \frac{\beta}{2} = 57^\text{°} \)

Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^\text{°} \), значит \( \alpha = 90^\text{°} - \beta \).

Подставляем в \( \alpha + \frac{\beta}{2} = 57^\text{°} \):

\[ (90^\text{°} - \beta) + \frac{\beta}{2} = 57^\text{°} \]\[ 90^\text{°} - \frac{\beta}{2} = 57^\text{°} \]\[ \frac{\beta}{2} = 90^\text{°} - 57^\text{°} = 33^\text{°} \]\[ \beta = 66^\text{°} \]

Тогда \( \alpha = 90^\text{°} - 66^\text{°} = 24^\text{°} \).

Ответ: 24° и 66°.