4) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и этого катета равна 15 см. Найти гипотенузу и этот катет.

Решение:

Пусть дан прямоугольный \( \triangle ABC \) с \( \angle C = 90^\text{°} \).

Один из острых углов равен 60°. Пусть \( \angle BAC = 60^\text{°} \).

Тогда \( \angle ABC = 90^\text{°} - 60^\text{°} = 30^\text{°} \).

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Это катет \( AC \).

Пусть гипотенуза \( AB = x \) см. Тогда катет \( AC = \frac{x}{2} \) см.

По условию, разность гипотенузы и этого катета равна 15 см. Очевидно, что гипотенуза больше катета.

\[ AB - AC = 15 \]\[ x - \frac{x}{2} = 15 \]\[ \frac{x}{2} = 15 \]\[ x = 30 \]

Итак, гипотенуза \( AB = 30 \text{ см} \).

Катет \( AC = \frac{30}{2} = 15 \text{ см} \).

Ответ: гипотенуза 30 см, катет 15 см.