3) Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке Р. Докажите, что треугольник АС равносторонний.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB — диаметр.
• AC — хорда.
• Угол ∠BAC = 30°.
• Касательная к окружности в точке C пересекает прямую AB в точке P.

Доказать: Треугольник ABC равносторонний.

Доказательство:

1. Угол ∠ACB является вписанным и опирается на диаметр AB. Следовательно, ∠ACB = 90°.
2. В прямоугольном треугольнике ABC, сумма острых углов равна 90°.
3. ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.
4. Таким образом, углы треугольника ABC равны: ∠BAC = 30°, ∠ABC = 60°, ∠ACB = 90°.
5. Треугольник ABC не является равносторонним, так как у равностороннего треугольника все углы равны 60°.
6. Возможно, в условии задачи ошибка, и требуется доказать, что треугольник ABC прямоугольный, или что-то другое. Если условие задачи корректно, то утверждение неверно.

Вывод: Утверждение о том, что треугольник ABC равносторонний, неверно при данных условиях.