3. Упростить и прологарифмировать выражение: а) x = ∛(a√(b√a)/√(ab²)); б) x = 1/(3ab)·√(1/(2a³b⁴√(2ab³))).

Предполагаем, что \(a>0\) и \(b>0\). Упростим каждое выражение, затем найдём \(\lg x\).

1. а) Подкоренное выражение кубического корня: \(\dfrac{a\sqrt{b\sqrt a}}{\sqrt{ab^2}}=\dfrac{a^{5/4}b^{1/2}}{a^{1/2}b}=a^{3/4}b^{-1/2}\). Следовательно, \(x=a^{1/4}b^{-1/6}\), и \(\lg x=\dfrac{1}{4}\lg a-\dfrac{1}{6}\lg b\).

2. б) \(\sqrt[4]{2ab^3}=2^{1/4}a^{1/4}b^{3/4}\), поэтому знаменатель под внешним корнем равен \(2^{5/4}a^{13/4}b^{7/4}\). Тогда \(x=\dfrac{1}{3\cdot2^{5/8}}a^{-21/8}b^{-15/8}\), и \(\lg x=-\lg 3-\dfrac{5}{8}\lg 2-\dfrac{21}{8}\lg a-\dfrac{15}{8}\lg b\).