3. Упростите: а) $\left(\frac{5x^2}{x-3}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2-6x+9}{5x^2}\right)^2-x^2$; б) $\left(\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}\right):\frac{4x^2+4x+24}{x^2-9}$; в) $\frac{5}{5x-2}-\frac{3}{3x-1}:\frac{5x-2}{9x^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите: а) $\left(\frac{5x^2}{x-3}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2-6x+9}{5x^2}\right)^2-x^2$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем разложение $x^2-6x+9=(x-3)^2$:

$\left(\frac{5x^2}{x-3}\right)^2\cdot\left(\frac{(x-3)^2}{5x^2}\right)^2-x^2=(x-3)^2-x^2=-6x+9$.

Ограничения: $x\ne0$, $x\ne3$.

б) Сначала упростим выражение в скобках, затем выполним деление:

$\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}=\frac{x(x+3)-2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+x+6}{x^2-9}$.

Поскольку $4x^2+4x+24=4(x^2+x+6)$, получаем

$\frac{x^2+x+6}{x^2-9}:\frac{4(x^2+x+6)}{x^2-9}=\frac14$.

Ограничения: $x\ne-3$, $x\ne3$.

в) По обычному порядку действий деление выполняется раньше вычитания. Разложим $9x^2-1=(3x-1)(3x+1)$:

$\frac{3}{3x-1}:\frac{5x-2}{9x^2-1}=\frac{3}{3x-1}\cdot\frac{(3x-1)(3x+1)}{5x-2}=\frac{3(3x+1)}{5x-2}$.

Тогда

$\frac{5}{5x-2}-\frac{3(3x+1)}{5x-2}=\frac{5-9x-3}{5x-2}=\frac{2-9x}{5x-2}$.

Ограничения: $x\ne\frac25$, $x\ne\frac13$, $x\ne-\frac13$.

Ответ: а) $-6x+9$; б) $\frac14$; в) $\frac{2-9x}{5x-2}$.

3. Упростите: а) \(\left(\frac{5x^2}{x-3}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2-6x+9}{5x^2}\right)^2-x^2\); б) \(\left(\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}\right):\frac{4x^2+4x+24}{x^2-9}\); в) \(\frac{5}{5x-2}-\frac{3}{3x-1}:\frac{5x-2}{9x^2-1}\).