3. Упростите выражение: 6 (y²-9) + 1 y² +6y+9 5 3-y

Решение:

Упростим дробные выражения, приведя их к общему знаменателю:

1. Разложим знаменатели на множители:

\[ y^2 - 9 = (y-3)(y+3) \]

\[ y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2 \]

2. Заменим знаменатель \( 3-y \) на \( -(y-3) \) для удобства:

\[ \frac{6}{(y-3)(y+3)} + \frac{1}{(y+3)^2} - \frac{5}{-(y-3)} \]

\[ = \frac{6}{(y-3)(y+3)} + \frac{1}{(y+3)^2} + \frac{5}{y-3} \]

3. Найдем общий знаменатель, который будет \( (y-3)(y+3)^2 \):

\[ = \frac{6(y+3)}{(y-3)(y+3)^2} + \frac{y-3}{(y-3)(y+3)^2} + \frac{5(y+3)^2}{(y-3)(y+3)^2} \]

4. Сложим числители:

\[ = \frac{6y + 18 + y - 3 + 5(y^2 + 6y + 9)}{(y-3)(y+3)^2} \]

\[ = \frac{7y + 15 + 5y^2 + 30y + 45}{(y-3)(y+3)^2} \]

\[ = \frac{5y^2 + 37y + 60}{(y-3)(y+3)^2} \]

Попробуем разложить числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \( 5y^2 + 37y + 60 = 0 \). Дискриминант \( D = 37^2 - 4 % 5 % 60 = 1369 - 1200 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \). Корни: \( y_1 = \frac{-37 + 13}{10} = -2.4 \), \( y_2 = \frac{-37 - 13}{10} = -5 \).

Таким образом, числитель можно записать как \( 5(y + 2.4)(y + 5) \).

В данном случае, без дополнительных указаний или возможности сокращения, выражение остаётся в таком виде.

Ответ: \( \frac{5y^2 + 37y + 60}{(y-3)(y+3)^2} \).