5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Решение:

1. Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).
2. Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 10 \) (км/ч).
3. Время в пути для первого автомобиля: \( t_1 = \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} \) (ч).
4. Время в пути для второго автомобиля: \( t_2 = \frac{560}{v_2} \) (ч).
5. По условию, первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго, значит:

\( t_2 - t_1 = 1 \)

\( \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \)

6. Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \)

\( 560v_2 + 5600 - 560v_2 = v_2^2 + 10v_2 \)

\( 5600 = v_2^2 + 10v_2 \)

7. Получим квадратное уравнение:

\( v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \)

8. Решим уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \)

9. Найдем \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 ± 150}{2} \)

\( v_{2,1} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \)

\( v_{2,2} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \)

10. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_2 = 70 \) км/ч.
11. Найдем скорость первого автомобиля:

\( v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.