3. Упростите выражение: a) sin(3π/2 - α) – cos(π + α); б) tg(π + α) + ctg(π/2 - α); в) sin α + (sin α - cos α)²; г) \(\frac{cos \alpha}{1 - sin \alpha} - \frac{cos \alpha}{1 + sin \alpha}\)

Решение:

1. a) sin(3π/2 - α) – cos(π + α)
   • sin(3π/2 - α) = -cos α (в третьем квадранте синус отрицателен, при 3π/2 меняется на косинус).
   • cos(π + α) = -cos α (в третьем квадранте косинус отрицателен, при π не меняется).
   • Выражение: -cos α - (-cos α) = -cos α + cos α = 0.
2. б) tg(π + α) + ctg(π/2 - α)
   • tg(π + α) = tg α (тангенс имеет период π).
   • ctg(π/2 - α) = tg α (при π/2 функция меняется, в первом квадранте котангенс положителен).
   • Выражение: tg α + tg α = 2tg α.
3. в) sin α + (sin α - cos α)²
   • Раскроем квадрат разности: (sin α - cos α)² = sin²α - 2sin α cos α + cos²α.
   • Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
   • Выражение: sin α + (1 - 2sin α cos α).
   • sin α + 1 - 2sin α cos α.
4. г) \(\frac{cos \alpha}{1 - sin \alpha} - \frac{cos \alpha}{1 + sin \alpha}\)
   • Приведем дроби к общему знаменателю (1 - sin α)(1 + sin α) = 1 - sin²α = cos²α.
   • \(\frac{cos \alpha (1 + sin \alpha) - cos \alpha (1 - sin \alpha)}{(1 - sin \alpha)(1 + sin \alpha)}\)
   • \(\frac{cos \alpha + cos \alpha sin \alpha - cos \alpha + cos \alpha sin \alpha}{cos^2 \alpha}\)
   • \(\frac{2 cos \alpha sin \alpha}{cos^2 \alpha}\)
   • \(\frac{2 sin \alpha}{cos \alpha}\)
   • = 2tg α.

Ответ: a) 0; б) 2tg α; в) sin α + 1 - 2sin α cos α; г) 2tg α