4. Докажите тождество: \(\frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{cos \alpha - sin \alpha} - tg \alpha \cdot cos \alpha = cos \alpha\)

Решение:

1. Левая часть тождества: \(\frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{cos \alpha - sin \alpha} - tg \alpha \cdot cos \alpha\)
2. Упростим первую дробь:
   • Знаменатель разности квадратов: cos²α - sin²α = (cos α - sin α)(cos α + sin α).
   • \(\frac{(cos \alpha - sin \alpha)(cos \alpha + sin \alpha)}{cos \alpha - sin \alpha}\)
   • Сокращаем (cos α - sin α), получаем: cos α + sin α.
3. Упростим второе слагаемое:
   • tg α = \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\).
   • tg α ⋅ cos α = \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot cos \alpha = sin \alpha\).
4. Подставим упрощенные части обратно:
   • (cos α + sin α) - sin α.
   • = cos α.
5. Результат совпадает с правой частью тождества.

Доказано.