3. Упростите выражение: a) sin(3π – α) + cos(3π/2 + α); б) tg (3π/2 + α) – ctg(6π – α); в) cos 2α + 2 sin²(π + α); г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α).

Пошаговое решение:

1. а) sin(3π – α) + cos(3π/2 + α)
   Используем формулы приведения:
   \( \sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \> (так как \( \sin \alpha \) во 2-й четверти положителен, а \( 3\pi \) — это \( \pi + 2\pi \>, значит, период 2\pi можно отбросить).
   \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - (-\alpha)) = -\sin(-\alpha) = \sin \alpha \> (при \( \frac{3\pi}{2} \) функция меняется на противоположную, а \( \cos \alpha \) в 4-й четверти отрицателен).
   Суммируем: \( \sin \alpha + \sin \alpha = 2 \sin \alpha \>.
2. б) tg (3π/2 + α) – ctg(6π – α)
   Используем формулы приведения:
   \( g(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg \alpha \> (при \( \frac{3\pi}{2} \) функция меняется на противоположную, а \( g \alpha \) в 4-й четверти отрицателен).
   \( \ctg(6\pi - \alpha) = \ctg(-\alpha) = -\ctg \alpha \> (период \( \pi \), \( 6\pi \) — это \( 0 + 6\pi \>, значит, можно отбросить, и \( \ctg \alpha \) — нечетная функция).
   Вычитаем: \( -\ctg \alpha - (-\ctg \alpha) = -\ctg \alpha + \ctg \alpha = 0 \>.
3. в) cos 2α + 2 sin²(π + α)
   Используем формулы:
   \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \> (при \( \pi \) функция не меняется, а \( \sin \alpha \) в 3-й четверти отрицателен).
   \( \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha \>.
   \( \cos 2\alpha \) можно представить как \( 1 - 2 \sin^2 \alpha \>.
   Подставляем: \( (1 - 2 \sin^2 \alpha) + 2 \sin^2 \alpha = 1 \>.
4. г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α)
   Приведем к общему знаменателю:
   Общий знаменатель: \( (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \>.
   \( \frac{\sin \alpha(1 - \cos \alpha) + \sin \alpha(1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \>.
   Упрощаем числитель: \( \frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} \>.

Ответ: а) \(2 \sin \alpha\); б) 0; в) 1; г) \(\frac{2}{\sin \alpha}\)