3. Упростите выражение: a) sin(π + α) + cos(3π/2 - α); б) tg(π/2 + α) - ctg(2π - α); в) cos 2α + 2sin²(π - α); г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α).

Решение:

• a) sin(π + α) + cos(3π/2 - α):
• sin(π + α) = -sin α (угол в III четверти).
• cos(3π/2 - α) = -sin α (угол в III четверти).
• Следовательно, -sin α + (-sin α) = -2sin α.
• б) tg(π/2 + α) - ctg(2π - α):
• tg(π/2 + α) = -ctg α (угол во II четверти).
• ctg(2π - α) = -ctg α (угол в IV четверти).
• Следовательно, -ctg α - (-ctg α) = -ctg α + ctg α = 0.
• в) cos 2α + 2sin²(π - α):
• cos 2α = 1 - 2sin² α.
• sin²(π - α) = sin² α (так как sin(π - α) = sin α).
• Следовательно, (1 - 2sin² α) + 2sin² α = 1.
• г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α):
• Приведем к общему знаменателю (1+cos α)(1-cos α) = 1 - cos² α = sin² α.
• \[ \frac{\sin \alpha (1 - \cos \alpha) + \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} \]

Ответ: a) -2sin α, б) 0, в) 1, г) 2/sin α.