4. Докажите тождество: cos² α (1 + tg² α) - sin² α = cos² α.

Решение:

Начнем с левой части тождества и будем упрощать ее, используя известные тригонометрические формулы.

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество 1 + tg² α = 1/cos² α.
• Левая часть: cos² α (1/cos² α) - sin² α.
• Шаг 2: Сокращаем cos² α.
• Получаем: 1 - sin² α.
• Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1, откуда 1 - sin² α = cos² α.
• Таким образом, левая часть тождества равна cos² α, что равно правой части.

Доказано.