3. Упростите выражение (c / (c + y) - (cy - 2) / (c² + 2cy + y²)) : (c² + 2) / (c² - y²)

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю первое выражение в скобках. Знаменатель \( c^2 + 2cy + y^2 \) является квадратом суммы \( (c + y)^2 \).

\( \frac{c}{c+y} - \frac{cy-2}{(c+y)^2} = \frac{c(c+y)}{(c+y)^2} - \frac{cy-2}{(c+y)^2} = \frac{c^2+cy - (cy-2)}{(c+y)^2} = \frac{c^2+cy-cy+2}{(c+y)^2} = \frac{c^2+2}{(c+y)^2} \)

2. Теперь выполним деление:

\( \frac{c^2+2}{(c+y)^2} : \frac{c^2+2}{c^2-y^2} \)

3. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\( \frac{c^2+2}{(c+y)^2} \cdot \frac{c^2-y^2}{c^2+2} \)

4. Сократим \( c^2+2 \) и раскроем \( c^2-y^2 = (c-y)(c+y) \):

\( \frac{1}{(c+y)^2} \cdot \frac{(c-y)(c+y)}{1} = \frac{c-y}{(c+y)^2} \cdot (c+y) = \frac{c-y}{c+y} \)

Ответ: (c - y) / (c + y)