№5. В квадрате ABCD диагональ BD пересекает отрезок АК (K ∈ BC) в точке О. Найдите длины отрезков AO и ОК, если сторона квадрата равна 12 см, а отрезок BK равен 9 см.

Решение:

1. Анализ условия и построение чертежа:

Начертим квадрат ABCD. Проведём диагональ BD. Точка K лежит на стороне BC, BK = 9 см. АК — отрезок, соединяющий вершину A с точкой K. Диагональ BD и отрезок АК пересекаются в точке O.

2. Использование свойств квадрата:

Сторона квадрата AB = BC = CD = DA = 12 см.

3. Рассмотрение треугольников:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABK \) и \( \triangle DOK \). Нет, это не поможет.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle KDO \). Они подобны как вертикальные углы, но это не помогает.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \). Нет, это не поможет.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOK \) и \( \triangle DOC \). Нет.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABK \) и \( \triangle ODA \). Нет.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle KOC \). Нет.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOK \) и \( \triangle DOB \). Нет.

4. Поиск подобных треугольников:

Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle DOK \). \( \angle BAK \) и \( \angle DOK \) не равны. \( \angle ABK = 90^{\circ} \), \( \angle DOK \) не 90.

Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle DOK \). \( \angle AOB = \angle DOK \) (вертикальные). \( \angle OAB \) и \( \angle ODK \) — накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD, значит \( \angle OAB = \angle ODK \). Следовательно, \( \triangle AOB \sim \triangle DOK \) по двум углам. Это не поможет, т.к. мы не знаем CD.

Рассмотрим \( \triangle AOK \) и \( \triangle DOC \). \( \angle AOK = \angle DOC \) (вертикальные). \( \angle OAK \) и \( \angle ODC \) — накрест лежащие при параллельных прямых AK и DC? Нет, AK не параллельна DC.

5. Использование подобия треугольников \( \triangle OAK \) и \( \triangle ODC \).

Мы знаем, что AB || DC, BC || AD. Диагональ BD делит угол BDA пополам, т.е. \( \angle ABD = \angle CBD = 45^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ADO \) и \( \triangle KBO \). \( \angle DAO = \angle BKO \) (накрест лежащие при AD || BC и секущей AK). \( \angle ADO = \angle KBO \) (накрест лежащие при AD || BC и секущей BD). Значит, \( \triangle ADO \sim \triangle KBO \) по двум углам. Это правильное подобие.

Найдем соотношение сторон:

\( \frac{AO}{KO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{KB} \)

Мы знаем, что AD = 12 см и BK = 9 см.

\( \frac{AD}{KB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)

Значит, \( \frac{AO}{KO} = \frac{4}{3} \), то есть \( AO = \frac{4}{3} KO \).

Диагональ BD является биссектрисой углов квадрата. В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. \( BD = AB\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \). \( DO = BO = \frac{1}{2} BD = 6\sqrt{2} \).

Тогда \( \frac{DO}{BO} = \frac{6\text{ \text{√}}2}{6\text{ \text{√}}2} = 1 \). Это означает, что \( \triangle ADO \sim \triangle KBO \) с коэффициентом подобия 1, то есть они равны. Но это противоречит тому, что AD = 12 и BK = 9.

Пересмотр подобия.

Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle DOC \). \( \angle BAK \) и \( \angle DOC \) не равны.

Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle KOD \). \( \angle AOB = \angle KOD \) (вертикальные). \( \angle OAB = \angle OKD \)? Нет.

Правильное подобие: \( \triangle AOB \sim \triangle COK \)

\( \angle BAO = \angle KCO \) (накрест лежащие при AB || BC и секущей AK). Это неверно. AB || DC.

Правильное подобие: \( \triangle AOD \sim \triangle KOB \)

\( \angle OAD = \angle OKB \) (накрест лежащие при AD || BC и секущей AK). Нет, AD || BC, AK - секущая.

\( \angle ODA = \angle OBK \) (накрест лежащие при AD || BC и секущей BD). Это верно.

\( \angle AOD = \angle KOB \) (вертикальные).

Значит, \( \triangle AOD \sim \triangle KOB \) по двум углам.

Составим соотношение сторон:

\( \frac{AO}{KO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{KB} \)

Известно: AD = 12 см, BK = 9 см.

\( \frac{AO}{KO} = \frac{DO}{BO} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)

Это означает, что \( AO = \frac{4}{3} KO \).

Также \( DO = \frac{4}{3} BO \).

Диагонали квадрата равны \( BD = AC = 12\sqrt{2} \) см.

Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — M. Тогда \( AM = MC = BM = DM = 6\sqrt{2} \) см.

O — точка пересечения AK и BD. Не обязательно совпадает с M.

У нас есть \( AO = \frac{4}{3} KO \) и \( DO = \frac{4}{3} BO \).

Сумма отрезков на диагонали BD: \( BO + DO = BD = 12\sqrt{2} \).

Подставим \( DO = \frac{4}{3} BO \) в последнее уравнение:

\( BO + \frac{4}{3} BO = 12\sqrt{2} \)

\( \frac{7}{3} BO = 12\sqrt{2} \)

\( BO = \frac{12\sqrt{2} \cdot 3}{7} = \frac{36\sqrt{2}}{7} \) см.

\( DO = \frac{4}{3} BO = \frac{4}{3} \cdot \frac{36\sqrt{2}}{7} = \frac{4 \cdot 12\sqrt{2}}{7} = \frac{48\sqrt{2}}{7} \) см.

Теперь найдем AO и KO.

Сумма отрезков на диагонали AK: \( AO + KO = AK \). Треугольник ABK — прямоугольный. \( AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \) см.

У нас есть \( AO = \frac{4}{3} KO \).

Подставим в \( AO + KO = 15 \):

\( \frac{4}{3} KO + KO = 15 \)

\( \frac{7}{3} KO = 15 \)

\( KO = \frac{15 \cdot 3}{7} = \frac{45}{7} \) см.

\( AO = \frac{4}{3} KO = \frac{4}{3} \cdot \frac{45}{7} = \frac{4 \cdot 15}{7} = \frac{60}{7} \) см.

Проверим, что \( AO + KO = \frac{60}{7} + \frac{45}{7} = \frac{105}{7} = 15 \).

Ответ: AO = 60/7 см, OK = 45/7 см