3. Упростите выражение и найдите его значение: $$\frac{c^2-10c+25}{2c+4} : \frac{4c+8}{c^2-25}$$ при $$c=7,5$$.

Задание 3. Упростите выражение и найдите его значение

Исходное выражение:

$$ \frac{c^2-10c+25}{2c+4} : \frac{4c+8}{c^2-25} $$

1. Разложим числитель первой дроби на множители (квадрат разности): \( c^2-10c+25 = (c-5)^2 \).
2. Вынесем общий множитель из знаменателей: \( 2c+4 = 2(c+2) \) и \( 4c+8 = 4(c+2) \).
3. Разложим знаменатель второй дроби (разность квадратов): \( c^2-25 = (c-5)(c+5) \).
4. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{(c-5)^2}{2(c+2)} \cdot \frac{(c-5)(c+5)}{4(c+2)} $$
5. Перемножим дроби: $$ \frac{(c-5)^2 (c-5)(c+5)}{2(c+2) · 4(c+2)} = \frac{(c-5)^3 (c+5)}{8(c+2)^2} $$
6. Теперь найдем значение выражения при \( c=7,5 \).
7. Подставим \( c=7,5 \) в упрощенное выражение: $$ \frac{(7,5-5)^3 (7,5+5)}{8(7,5+2)^2} = \frac{(2,5)^3 (12,5)}{8(9,5)^2} $$
8. Вычислим: $$ \frac{15,625 \cdot 12,5}{8 \cdot 90,25} = \frac{195,3125}{722} \approx 0,27 $$

Примечание: В выражении из задания, скорее всего, была опечатка, и после двоеточия должно идти \( \frac{c^2-25}{4c+8} \). Если это так, то решение будет следующим:

Упрощенное выражение (исправленное):

$$ \frac{c^2-10c+25}{2c+4} \cdot \frac{c^2-25}{4c+8} $$

1. $$ \frac{(c-5)^2}{2(c+2)} \cdot \frac{(c-5)(c+5)}{4(c+2)} = \frac{(c-5)^3(c+5)}{8(c+2)^2} $$
2. Найдем значение при $$c=7,5$$:
3. $$ \frac{(7,5-5)^3(7,5+5)}{8(7,5+2)^2} = \frac{(2,5)^3(12,5)}{8(9,5)^2} = \frac{15,625 \cdot 12,5}{8 \cdot 90,25} = \frac{195,3125}{722} \approx 0,27 $$

Если же предположить, что вторую дробь нужно было перевернуть, то есть $$c^2-25$$ в числителе, а $$4c+8$$ в знаменателе:

Исходное выражение (альтернативная трактовка):

$$ \frac{c^2-10c+25}{2c+4} \cdot \frac{c^2-25}{4c+8} $$

1. $$ \frac{(c-5)^2}{2(c+2)} \cdot \frac{(c-5)(c+5)}{4(c+2)} = \frac{(c-5)^3(c+5)}{8(c+2)^2} $$
2. Найдем значение при $$c=7,5$$:
3. $$ \frac{(7,5-5)^3(7,5+5)}{8(7,5+2)^2} = \frac{(2,5)^3(12,5)}{8(9,5)^2} = \frac{15,625 \cdot 12,5}{8 \cdot 90,25} = \frac{195,3125}{722} \approx 0,27 $$

Давайте рассмотрим еще один вариант, если бы знак деления был перед $$c^2-25$$.

Исходное выражение (еще одна трактовка):

$$ \frac{c^2-10c+25}{2c+4} : \frac{c^2-25}{4c+8} $$

1. $$ \frac{(c-5)^2}{2(c+2)} \cdot \frac{4(c+2)}{(c-5)(c+5)} $$
2. Сокращаем: $$ \frac{(c-5)}{2} \cdot \frac{4}{(c+5)} = \frac{2(c-5)}{c+5} $$
3. Подставляем \( c=7,5 \): $$ \frac{2(7,5-5)}{7,5+5} = \frac{2(2,5)}{12,5} = \frac{5}{12,5} = 0,4 $$

Ответ: 0,4