3. Упростите выражение \(\left(\frac{3}{9-x^{2}}+\frac{1}{x-3}\right): \frac{x}{x^{2}-6 x+9}\)

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ \frac{3}{9-x^{2}}+\frac{1}{x-3} = \frac{3}{(3-x)(3+x)} + \frac{1}{x-3} \]

Приведём к общему знаменателю \( (3-x)(3+x) \) или \( -(x-3)(x+3) \):

\[ = \frac{3}{(3-x)(3+x)} - \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{3 - (x+3)}{(3-x)(3+x)} = \frac{3-x-3}{(3-x)(3+x)} = \frac{-x}{(3-x)(3+x)} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{-x}{(3-x)(3+x)} : \frac{x}{x^{2}-6x+9} = \frac{-x}{(3-x)(3+x)} \cdot \frac{x^{2}-6x+9}{x} \]

Разложим знаменатель второй дроби на множители: \( x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2} \). Заметим, что \( (x-3)^{2} = (-(3-x))^{2} = (3-x)^{2} \).

\[ = \frac{-x}{(3-x)(3+x)} \cdot \frac{(3-x)^{2}}{x} \]

Сократим \( x \) и \( (3-x) \):

\[ = \frac{-1}{(3+x)} \cdot (3-x) = \frac{-(3-x)}{3+x} = \frac{x-3}{x+3} \]

Ответ: \( \frac{x-3}{x+3} \).