3) В банке стоит два банкомата. Вероятность того, что каждый из них в случайный момент занят равна 0,8. Вероятность того, что оба свободны равна 0,05. Найти вероятность того, что а) оба банкомата заняты одновременно б) свободен только один из банкоматов.

Решение:

Обозначим:

• \( Б1 \) - событие, что первый банкомат занят.
• \( Б2 \) - событие, что второй банкомат занят.
• \( С1 \) - событие, что первый банкомат свободен.
• \( С2 \) - событие, что второй банкомат свободен.

По условию задачи:

• \( P(Б1) = P(Б2) = 0.8 \)
• \( P(С1 \text{ и } С2) = P(С1) \cdot P(С2) = 0.05 \) (предполагаем независимость банкоматов)

Из \( P(С1) \cdot P(С2) = 0.05 \) и \( P(С1) = P(С2) \) следует, что \( P(С1) = P(С2) = \sqrt{0.05} \approx 0.2236 \).

Также:

• \( P(С1) = 1 - P(Б1) = 1 - 0.8 = 0.2 \)
• \( P(С2) = 1 - P(Б2) = 1 - 0.8 = 0.2 \)

Внимание: В условии задачи есть противоречие. Вероятность того, что оба свободны (0.05), не соответствует вероятности занятости каждого (0.8). Если \( P(С1) = P(С2) = 0.2 \), то \( P(С1 \text{ и } С2) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04 \). Будем решать, исходя из того, что \( P(Б1) = P(Б2) = 0.8 \) и \( P(С1) = P(С2) = 0.2 \).

а) Оба банкомата заняты одновременно

Так как события независимы, вероятность того, что оба банкомата заняты, равна произведению вероятностей этих событий:

\[ P(Б1 \text{ и } Б2) = P(Б1) \cdot P(Б2) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64 \]

б) Свободен только один из банкоматов

Это означает, что либо первый свободен, а второй занят, либо наоборот. Эти два случая несовместны.

Случай 1: Первый банкомат свободен, второй занят.

\[ P(С1 \text{ и } Б2) = P(С1) \cdot P(Б2) = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \]

Случай 2: Первый банкомат занят, второй свободен.

\[ P(Б1 \text{ и } С2) = P(Б1) \cdot P(С2) = 0.8 \cdot 0.2 = 0.16 \]

Вероятность того, что свободен только один банкомат, равна сумме вероятностей этих двух случаев:

\[ P(\text{только один свободен}) = P(С1 \text{ и } Б2) + P(Б1 \text{ и } С2) = 0.16 + 0.16 = 0.32 \]

Ответ: а) 0,64; б) 0,32.