4) В магазине продаются семена томатов 7 видов. Бабушка пришла купить четыре упаковки семян. Сколькими способами она может выбрать четыре упаковки так, что: а) все упаковки будут разных сортов; б) упаковки будут только трех сортов?

Решение:

Это задача на сочетания, так как порядок выбора упаковок не имеет значения.

а) Все упаковки будут разных сортов

Бабушке нужно выбрать 4 разных сорта из 7 имеющихся. Это число сочетаний из 7 по 4:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

\[ C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35 \]

б) Упаковки будут только трех сортов

Чтобы выбрать упаковки только трех сортов, нужно сделать следующее:

1. Сначала выбрать 3 сорта из 7 имеющихся.
2. Затем из этих 3 выбранных сортов выбрать 4 упаковки так, чтобы были представлены ровно 3 сорта. Это возможно, если один сорт будет выбран дважды, а два других — по одному разу.

Шаг 1: Выбор 3 сортов из 7:

\[ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]

Шаг 2: Из выбранных 3 сортов (назовём их А, В, С) нужно выбрать 4 упаковки так, чтобы были представлены все три сорта. Возможные комбинации:

• Две упаковки сорта А, одна В, одна С.
• Одна упаковка сорта А, две В, одна С.
• Одна упаковка сорта А, одна В, две С.

Для каждого из 35 способов выбора 3 сортов есть 3 таких комбинации.

Общее количество способов = (количество способов выбрать 3 сорта) × (количество способов выбрать 4 упаковки из этих 3 сортов так, чтобы были представлены все 3 сорта)

\[ 35 \cdot 3 = 105 \]

Ответ: а) 35 способов; б) 105 способов.