3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка К, ВК = = КС = АК, угол АКВ на 30° больше угла С. Найдите угол АВК.

В треугольнике ABC точка K на стороне AC такова, что BK = KC = AK. Это значит, что K является центром описанной окружности, и AB — диаметр. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C.

Рассмотрим треугольник BKC. Так как BK = KC, он равнобедренный. Пусть $$\angle C = \angle KBC = \alpha$$.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как BK = AK, он равнобедренный. $$\angle BAK = \angle ABK$$.

По условию $$\angle AKB = \angle C + 30° = \alpha + 30°$$.

В треугольнике BKC сумма углов равна 180°:

\[ \angle BKC + \angle C + \angle KBC = 180° \]

Угол $$\angle BKC$$ является смежным к $$\angle AKB$$, поэтому $$\angle BKC = 180° - \angle AKB$$.

\[ (180° - \angle AKB) + \alpha + \alpha = 180° \]

\[ 180° - (\alpha + 30°) + 2\alpha = 180° \]

\[ 180° - \alpha - 30° + 2\alpha = 180° \]

\[ \alpha + 150° = 180° \]

\[ \alpha = 30° \]

Итак, $$\angle C = 30°$$.

В треугольнике ABC:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \]

\[ \angle BAC + \angle ABC + 30° = 180° \]

\[ \angle BAC + \angle ABC = 150° \]

Из равнобедренного треугольника ABK, $$\angle BAK = \angle ABK$$. Но это неверно, так как K лежит на AC. Правильно: $$\angle BAK = \angle ABK$$ неверно. Правильно: $$\angle BAK$$ и $$\angle KBA$$.

В равнобедренном треугольнике ABK, $$\angle KAB = \angle KBA$$ где K - вершина. Нет, точка K лежит на стороне AC.

В треугольнике ABK: BK = AK. Следовательно, $$\angle KAB = \angle KBA$$. (Углы при основании ABK).

Вернемся к $$\alpha = 30°$$. Значит, $$\angle C = 30°$$.

В треугольнике BKC: $$\angle C = 30°$$, $$\angle KBC = 30°$$, $$\angle BKC = 180° - 30° - 30° = 120°$$.

Угол $$\angle AKB$$ смежный с $$\angle BKC$$, значит $$\angle AKB = 180° - 120° = 60°$$.

Проверим условие: $$\angle AKB = \angle C + 30°$$. $$60° = 30° + 30°$$. Верно.

Теперь рассмотрим треугольник ABK. Он равнобедренный, так как AK = BK. Значит $$\angle KAB = \angle KBA$$.

Сумма углов в треугольнике ABK:

\[ \angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180° \]

\[ 2 \angle KBA + 60° = 180° \]

\[ 2 \angle KBA = 120° \]

\[ \angle KBA = 60° \]

Таким образом, $$\angle ABK = 60°$$.

Ответ: 60°