4. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, биссектриса ВМ в 2 раза больше расстояния от точки М до прямой АВ. Катет ВС = 17 см. Найдите гипотенузу АВ.

Пусть $$BM = l$$ и расстояние от $$M$$ до $$AB$$ равно $$h$$. По условию $$l = 2h$$.

Пусть $$\angle C = 90°$$. $$BM$$ — биссектриса $$\angle B$$. Значит $$\angle CBM = \angle MBA = \beta$$.

В прямоугольном треугольнике $$MBC$$, $$\angle BMC = 90° - \beta$$.

Расстояние от $$M$$ до $$AB$$ — это перпендикуляр $$MH$$, опущенный из $$M$$ на $$AB$$. $$\angle MHB = 90°$$. $$h = MH$$.

В прямоугольном треугольнике $$MBH$$, $$\angle MBH = \beta$$, $$\angle BHM = 90°$$. $$MH = BM \sin(\angle MBH)$$.

$$h = l \sin(\beta)$$.

По условию $$l = 2h$$, значит $$h = \frac{l}{2}$$.

Подставляем в уравнение:

$$\frac{l}{2} = l \sin(\beta)$$

$$\frac{1}{2} = \sin(\beta)$$

Значит $$\beta = 30°$$.

Таким образом, $$\angle CBM = 30°$$.

Так как $$BM$$ — биссектриса $$\angle B$$, то $$\angle ABC = 2 \times \angle CBM = 2 \times 30° = 60°$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$\angle BCA = 90°$$ и $$\angle ABC = 60°$$. Следовательно, $$\angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30°$$.

Мы знаем, что $$BC = 17$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \cos(60°) = \frac{17}{AB} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{17}{AB} \]

\[ AB = 17 \times 2 = 34 \text{ см} \]

Ответ: 34 см