3. В окружности проведены хорды BA и BC. Расстояние от середины хорды BC до хорды BA равно 5 см. Найдите угол CAB, если AC = 20 см.

Пусть M — середина хорды BC. Расстояние до прямой BA изменяется пропорционально вдоль отрезка BC: точка B лежит на BA, а M — середина BC. Поэтому расстояние от C до BA вдвое больше расстояния от M до BA: оно равно 10 см.

Это расстояние является высотой треугольника ABC, опущенной из C на AB. Следовательно, \(AC\cdot\sin\angle CAB=10\), откуда \(20\sin\angle CAB=10\) и \(\sin\angle CAB=\frac12\).

Возможны два значения внутреннего угла треугольника с таким синусом: 30° и 150°. Условие не исключает ни остроугольный, ни тупоугольный вариант.

Ответ: 30° или 150°.