3. В окружности с центром О проведены хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Анализ:

Нам дано, что в окружности с центром О хорды NF и NK равны (NF = NK). Нам нужно доказать, что углы ∠MNK и ∠MNF равны.

Теорема:

Равные хорды стягивают равные дуги. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Доказательство:

1. По условию хорды NF и NK равны: NF = NK.
2. Следовательно, дуги, которые стягивают эти хорды, также равны: дуга NF = дуга NK.
3. Угол ∠MNK является вписанным углом, опирающимся на дугу NK.
4. Угол ∠MNF является вписанным углом, опирающимся на дугу NF.
5. Так как дуга NK = дуга NF, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут равны.
6. Следовательно, ∠MNK = ∠MNF.

Что и требовалось доказать.