3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM = 30°. В параллелограмме ABCD, AD || BC, поэтому угол DAM = угол AMB = 30°. В треугольнике ABM, углы BAM = 30°, AMB = 30°, следовательно, треугольник ABM равнобедренный с AB = BM = 6. Так как AM перпендикулярна DM, угол AMD = 90°. В треугольнике ADM, угол DAM = 30°, угол AMD = 90°, следовательно, угол ADM = 60°. Так как ABCD - параллелограмм, угол D = 180° - угол A = 180° - 60° = 120°. Угол ADM = 60°, значит, угол MDC = 120° - 60° = 60°. В треугольнике ADM, AD = 2 * AM (катет, лежащий против угла 30°). В прямоугольном треугольнике AMD, AM = AB = 6. Значит, AD = 2 * 6 = 12. Периметр равен 2 * (AB + AD) = 2 * (6 + 12) = 36.