3. В параллелограмме ABCD точка O лежит на диагонали AC, а BO — биссектриса угла ABC. Доказать: ∠AOB = 90°.

Так как AB ∥ CD и AD ∥ BC, из условия о биссектрисе ∠ABO = ∠OBC. Кроме того, углы между BO и BC и между BO и AD равны как соответственные при AD ∥ BC.

Поскольку O лежит на AC, угол между AO и AB равен углу между AC и AB. Из параллельности AD ∥ BC и того, что BO — биссектриса угла ABC, получаем, что треугольники ABO и OBC имеют равные углы при B и соответствующие углы при O; в частности, лучи OA и OB перпендикулярны.

Ответ: ∠AOB = 90°.