3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем данной пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через \(M\), центр основания — через \(O\), а вершину основания, к которой проведено боковое ребро, — через \(A\). Тогда \(MO\perp\) плоскости основания, а проекция ребра \(MA\) на основание — отрезок \(AO\).

Высота пирамиды равна перпендикулярной составляющей бокового ребра:

\(MO=MA\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\) см.

Проекция ребра на основание: \(AO=MA\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4\) см. В квадрате расстояние от центра до вершины равно половине диагонали, то есть \(AO=\frac{a\sqrt2}{2}\). Поэтому \(a=4\sqrt2\) см, а площадь основания \(S_{осн}=a^2=32\) см².

\(V=\frac13S_{осн}MO=\frac13\cdot32\cdot4\sqrt3=\frac{128\sqrt3}{3}\) см³.

Ответ: \(\frac{128\sqrt3}{3}\) см³.