3. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна l и образует с высотой угол β. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком от центра основания до середины его стороны. Апофема — гипотенуза, поэтому высота равна \(l\cos\beta\), а половина стороны основания — \(l\sin\beta\).

Тогда сторона основания равна \(2l\sin\beta\), и площадь квадратного основания: \(S_{осн}=4l^2\sin^2\beta\).

Боковая поверхность равна половине произведения периметра основания на апофему: \(S_{бок}=\frac{4\cdot2l\sin\beta\cdot l}{2}=4l^2\sin\beta\).

Следовательно, \(S_{полн}=4l^2(\sin^2\beta+\sin\beta)\).

Ответ: \(4l^2(\sin^2\beta+\sin\beta)\).