3. В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см и длиной бокового ребра \(\sqrt{50}\) см найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найдём половину диагонали основания: В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).
2. \( d = 6 \text{ см} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \)
3. Половина диагонали: \( \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \)
4. Найдём высоту пирамиды: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. По теореме Пифагора:
5. \( l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2 \)
6. \( (\sqrt{50})^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2 \)
7. \( 50 = h^2 + 18 \)
8. \( h^2 = 50 - 18 = 32 \)
9. \( h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \)
10. Найдём косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания: Косинус угла равен отношению прилежащего катета (половина диагонали) к гипотенузе (боковое ребро).
11. \( \cos(\alpha) = \frac{\frac{d}{2}}{l} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5} \)
12. Найдём апофему боковой грани: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой.
13. \( ap^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
14. \( ap^2 = (4\sqrt{2})^2 + (\frac{6}{2})^2 = 32 + 3^2 = 32 + 9 = 41 \)
15. \( ap = \sqrt{41} \text{ см} \)
16. Найдём площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.
17. \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \times ap \)
18. \( P_{осн} = 4a = 4 \times 6 \text{ см} = 24 \text{ см} \)
19. \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 24 \text{ см} \times \sqrt{41} \text{ см} = 12\sqrt{41} \text{ см}^2 \)

Ответ: Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен \(\frac{3}{5}\). Площадь боковой поверхности равна \(12\sqrt{41}\) см².