3). В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема 15 см. Найти объём.

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида.

Высота пирамиды \( H = 12 \) см.

Апофема \( l = 15 \) см.

Апофема, высота и радиус вписанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности в основание квадрата равен половине стороны квадрата. Обозначим сторону основания как \( a \), тогда радиус \( r = \frac{a}{2} \).

1. Найдём радиус вписанной окружности основания:
   Используем теорему Пифагора: \( l^2 = H^2 + r^2 \).
   \[ 15^2 = 12^2 + r^2 \]
   \[ 225 = 144 + r^2 \]
   \[ r^2 = 225 - 144 = 81 \]
   \[ r = \(\sqrt{81}\) = 9 \) см.
2. Найдём сторону основания квадрата:
   Так как \( r = \frac{a}{2} \), то \( a = 2r = 2 \cdot 9 = 18 \) см.
3. Найдём площадь основания пирамиды:
   Площадь квадрата: \( S_{осн} = a^2 \).
   \[ S_{осн} = 18^2 = 324 \) см².
4. Найдём объём пирамиды:
   Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).
   \[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 324 \(\cdot\) 12 = 324 \(\cdot\) 4 = 1296 \) см³.

Ответ: Объём пирамиды равен \( 1296 \) см³.