5). Диагональ осевого сечения цилиндра 10 см, высота 8 см. Найти объём и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого равна 10 см, а одна из сторон (высота цилиндра) равна 8 см.

Дано:

• Высота цилиндра \( h = 8 \) см
• Диагональ осевого сечения \( d = 10 \) см

Найти:

• Объём \( V \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

1. Найдём диаметр основания цилиндра \( D \). Диагональ осевого сечения, высота и диаметр образуют прямоугольный треугольник, где диагональ — гипотенуза. По теореме Пифагора: \( D^2 + h^2 = d^2 \) \( D^2 + 8^2 = 10^2 \) \( D^2 + 64 = 100 \) \( D^2 = 100 - 64 = 36 \) \( D = \sqrt{36} = 6 \) см.
2. Найдём радиус основания цилиндра: \( r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
3. Вычислим объём цилиндра: \( V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi \) см³.
4. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра: \( S_{полн} = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 3 (3 + 8) = 6\pi \cdot 11 = 66\pi \) см².

Ответ: объём \( 72\pi \) см³, площадь полной поверхности \( 66\pi \) см².