5). Диагональ осевого сечения цилиндра 10 см, высота 8 см. Найти объём и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Дан цилиндр.

Диагональ осевого сечения \( d = 10 \) см.

Высота цилиндра \( h = 8 \) см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. Диагональ этого прямоугольника равна 10 см.

1. Найдём диаметр основания цилиндра:
   Обозначим диаметр основания как \( D \). В прямоугольнике осевого сечения диагональ \( d \), высота \( h \) и диаметр \( D \) связаны теоремой Пифагора: \( h^2 + D^2 = d^2 \).
   \[ 8^2 + D^2 = 10^2 \]
   \[ 64 + D^2 = 100 \]
   \[ D^2 = 100 - 64 = 36 \]
   \[ D = \(\sqrt{36}\) = 6 \) см.
2. Найдём радиус основания цилиндра:
   Радиус \( r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
3. Найдём объём цилиндра:
   Формула объёма цилиндра: \( V = \pi r^2 h \).
   \[ V = \(\pi\) \(\cdot\) 3^2 \(\cdot\) 8 = \(\pi\) \(\cdot\) 9 \(\cdot\) 8 = 72\(\pi\) \) см³.
4. Найдём площадь полной поверхности цилиндра:
   Формула площади полной поверхности цилиндра: \( S = 2\pi r (r + h) \).
   \[ S = 2\(\pi\) \(\cdot\) 3 (3 + 8) = 2\(\pi\) \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 11 = 66\(\pi\) \) см².

Ответ: Объём цилиндра равен \( 72\pi \) см³, площадь полной поверхности равна \( 66\pi \) см².