3. В правильной четырёхугольной призме \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) равно 15, а диагональ \(BD_1\) равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\). Диагональ \(BD_1\) образует прямоугольный треугольник с горизонтальной диагональю основания \(BD=a\sqrt2\) и высотой призмы \(DD_1=15\).

\((a\sqrt2)^2+15^2=25^2\), поэтому \(2a^2=400\), откуда \(a=10\sqrt2\).

Плоскость через \(A,A_1,C\) пересекает верхнее основание по отрезку \(A_1C_1\), а нижнее — по диагонали \(AC\). Сечение — прямоугольник \(AA_1C_1C\). Его стороны: \(AA_1=15\), \(AC=a\sqrt2=20\).

\(S=15\cdot20=300\).

Ответ: 300.