3. В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 15, а диагональ BD₁ равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\). Диагональ \(BD_1\) является пространственной диагональю призмы:

\(BD_1^2=BD^2+DD_1^2=2a^2+15^2\).

\(25^2=2a^2+225\), откуда \(2a^2=400\), \(a^2=200\).

Диагональ основания:

\(AC=a\sqrt2=\sqrt{200\cdot2}=20\).

Сечение плоскостью \(AA_1C\) — прямоугольник со сторонами \(AA_1=15\) и \(AC=20\). Поэтому его площадь:

\(S=15\cdot20=300\).

Ответ: 300.