3. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 13, а сторона основания равна 12√3. Найдите высоту пирамиды (см. рис. 43).

В правильной треугольной пирамиде высота опускается в центр равностороннего треугольника основания. Расстояние от этого центра до вершины основания — радиус описанной окружности: R = a / √3 = 12√3 / √3 = 12.

Боковое ребро, высота пирамиды и радиус R образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

h² + 12² = 13², значит h² = 169 − 144 = 25, откуда h = 5.

Ответ: 5.