3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Угол между диагоналями равен 60°, а меньшая сторона равна 6 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна 6 см, а большая — x см. Острый угол между диагоналями складывается из двух равных углов, каждый из которых образован диагональю с большей стороной прямоугольника. Поэтому угол между диагональю и большей стороной равен 60° : 2 = 30°.

В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и x имеем tan 30° = 6/x. Так как tan 30° = 1/√3, получаем x = 6√3 см.

По теореме Пифагора диагональ d равна √(6² + (6√3)²) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см.