3. В прямоугольнике MEAB точка D является точкой пересечения диагоналей. ∠MBE = 30°, EB = 8 см. Найдите углы и периметр треугольника MDE.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому DM = DE, и треугольник MDE равнобедренный.

В треугольнике MBE угол M равен 90°, а ∠MBE = 30°, значит, ∠MEB = 60°. Точка D лежит на диагонали EB, поэтому ∠MED = 60°. В равнобедренном треугольнике MDE равны углы при основании: ∠DME = 60°. Следовательно, ∠MDE = 60°.

Треугольник MBE прямоугольный, EB = 8 см — его гипотенуза. Против угла 30° лежит сторона ME, поэтому ME = 8 : 2 = 4 см. Поскольку D — середина диагонали, DE = 4 см. Также DM = DE = 4 см.

Периметр треугольника MDE: 4 + 4 + 4 = 12 см.

Ответ: ∠MDE = ∠DME = ∠MED = 60°; периметр равен 12 см.