3. В прямоугольнике RXKM точка Z является точкой пересечения диагоналей. ∠RMX = 30°, XM = 24 см. Найдите углы и периметр треугольника RZX.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому RZ = ZX = XM ÷ 2 = 12 см.

Так как RM перпендикулярна RX, угол между диагональю MX и горизонтальной стороной равен 90° − 30° = 60°. Диагонали прямоугольника образуют с горизонтальными сторонами равные острые углы, поэтому ∠ZRX = 60°. Из равенства RZ и ZX следует, что треугольник RZX равнобедренный, а его углы при R и X равны. Значит, ∠ZRX = ∠RXZ = 60°, и ∠RZX = 60°.

Все стороны треугольника равны 12 см, поэтому его периметр равен 12 + 12 + 12 = 36 см.

Ответ: углы треугольника — 60°, 60°, 60°; периметр — 36 см.