3. В прямоугольном ╨ABC, ∠B = 90°, ∠C = 30°, BC = 18см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ╨ABC, где ∠B = 90° и ∠C = 30°. Следовательно, ∠A = 180° - 90° - 30° = 60°.

AD - биссектриса угла A. Это означает, что она делит угол A на два равных угла:

• ∠BAD = ∠CAD = ∠A / 2 = 60° / 2 = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ╨ABD. Угол ∠B = 90°, ∠BAD = 30°. Следовательно, ∠ADB = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник ╨ABC. Катет BC лежит против угла A = 60°, а катет AB лежит против угла C = 30°. Гипотенуза - AC.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

• AB = AC / 2

Также, катет, лежащий против угла в 60°, равен половине гипотенузы, умноженной на √3:

• BC = (AC / 2) · √3

Нам дано, что BC = 18 см. Используем это для нахождения AC:

• 18 = (AC / 2) · √3
• 36 = AC · √3
• AC = 36 / √3 = 36√3 / 3 = 12√3 см.

Теперь найдем AB:

• AB = AC / 2 = 12√3 / 2 = 6√3 см.

AD - биссектриса. По теореме о биссектрисе треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

• BD / CD = AB / AC
• BD / CD = (6√3) / (12√3) = 1/2

Мы знаем, что BD + CD = BC = 18 см.

Из BD / CD = 1/2 следует, что CD = 2 * BD.

Подставим это в уравнение суммы отрезков:

• BD + 2 · BD = 18
• 3 · BD = 18
• BD = 6 см.

Теперь найдем CD:

• CD = 18 - BD = 18 - 6 = 12 см.

Ответ: Биссектриса AD делит катет BC на отрезки BD = 6 см и CD = 12 см.